Question

已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求PD与平面ABCD所成的角；
（2）求证：MN∥平面PAD；
（3）求证：面PMC⊥面PCD．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的性质和线面角的定义、等腰直角三角形的性质即可得出；
（2）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质、线面平行的判定定理即可得出；
（3）利用定义三角形的性质、线面和面面垂直的判定和性质定理即可得出．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA是PD与平面ABCD所成的角，PA⊥AD．
∵PA=AD，∴∠PDA=45°．
∴PD与平面ABCD所成的角为45°．
（2）取PD的中点E，连接AE，EN．
由三角形的中位线定理可得：EN

∥

.

1

2

CD．
又∵AM

∥

.

=

1

2

CD，∴EN

∥

.

AM．
∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN∥AE．
而AE?平面PAD，MN?平面PAD．
∴MN∥平面PAD．
（3）由（2）可知：PE=ED．
又∵PA=AD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵CD⊥AD，AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE．
∵PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD．
又∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD．
∵MN?平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD．

点评：熟练掌握线面垂直的性质和线面角的定义、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质、线面平行的判定定理、等腰三角形的性质、线面和面面垂直的判定和性质定理是解题的关键．