Question

【题目】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，当时，求直线斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) （2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和直线和圆相切的条件： 可得 ，结合 的关系，可得进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设过点 的直线为 ，代入椭圆方程 可得的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，化简整理解不等式即可得到所求直线的斜率的范围．

试题解析：（（Ⅰ）由题意可得e==，

以x2+y2=b2的圆与直线x﹣y+=0相切，可得

=b，即b=1，

即为a2﹣c2=1，

解得a=，b=1，

即有椭圆方程为+y2=1；

（Ⅱ）设过点M（2，0）的直线为y=k（x﹣2），

代入椭圆方程x2+2y2=2，可得

（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，

可得△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，

即为﹣＜k＜，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

即有x1+x2=，x1x2=，

由弦长公式可得|AB|=

==，

由题意可得＜，

化简可得56k4+38k2﹣13＞0，

解得k2＞，即有k＞或k＜﹣，

综上可得直线的斜率的范围是