Question

已知函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数），g(x)=f(x)-f(-x)-(a+

1

a

)x，x∈R，a＞0．
（1）判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）求函数g（x）的单调递增区间；
（3）证明：对任意实数x₁和x₂，且x₁≠x₂，都有不等式f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜

f(x1)+f(x2)

2

成立．

Answer 1

分析：（1）由定义法判断函数g(x)=f(x)-f(-x)-(a+

1

a

)x即可，易证；
（2）求出g(x)=f(x)-f(-x)-(a+

1

a

)x的导数，根据参数a的取值范围分类讨论研究函数的单调性，求出其单调区间；
（3）代入解析式，将不等式f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜

f(x1)+f(x2)

2

转化为1＜

e x1-x2 2 -e x2-x1 2

x1-x2

＜

e x1-x2 2 +e x2-x1 2

2

根据其形式发现可以令x=

x1-x2

2

＞0进一步将1＜

e x1-x2 2 -e x2-x1 2

x1-x2

＜

e x1-x2 2 +e x2-x1 2

2

成立的问题转化为1＜

ex-e-x

2x

＜

ex+e-x

2

成立的问题，故可构造函数对两个不等式分步证明，下借助函数的单调性证明即可

解答：解：（1）∵函数g（x）的定义域为R，
且g(-x)=f(-x)-f(x)+(a+

1

a

)x=-[f(x)-f(-x)-(a+

1

a

)x]=-g(x)
∴函数g（x）是奇函数．（2分）
（2）g′(x)=ex+e-x-(a+

1

a

)=e-x[e2x-(a+

1

a

)ex+1]=e-x(ex-a)(ex-

1

a

)（3分）
当a=1时，g'（x）=e^-x（e^x-1）²≥0且当且仅当x=0时成立等号，故g（x）在R上递增；（4分）
当0＜a＜1时，a＜

1

a

，令g'（x）＞0得ex＞

1

a

或e^x＜a，
故g（x）的单调递增区间为（-∞，lna）或（-lna，+∞）；（5分）
当a＞1时，a＞

1

a

，令g'（x）＞0得e^x＞a或ex＜

1

a

，
故g（x）的单调递增区间为（-∞，-lna）或（lna，+∞）．（6分）
（3）不妨设x₁＞x₂，f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜

f(x1)+f(x2)

2

?e

x1+x2

2

＜

ex1-ex2

x1-x2

＜

ex1+ex2

2

，?1＜

e x1-x2 2 -e x2-x1 2

x1-x2

＜

e x1-x2 2 +e x2-x1 2

2

（7分）
令x=

x1-x2

2

＞0，则只需证1＜

ex-e-x

2x

＜

ex+e-x

2

（8分）
先证1＜

ex-e-x

2x

，由（2）知g（x）=e^x-e^-x-2x在R上递增，
∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0
∴e^x-e^-x＞2x，从而由x＞0知1＜

ex-e-x

2x

成立；（10分）
再证

ex-e-x

2x

＜

ex+e-x

2

，即证：

ex-e-x

ex+e-x

＜x，
令h(x)=

ex-e-x

ex+e-x

-x，则h(x)=

e2x-1

e2x+1

-x=1-

2

e2x+1

-x是减函数，
∴当x＞0时，h（x）＜h（0）=0，从而

ex-e-x

ex+e-x

＜x成立．（13分）
综上，对任意实数x₁和x₂，且x₁≠x₂，都有不等式f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜

f(x1)+f(x2)

2

成立．（14分）

点评：本题考点是利用导数研究函数的单调性，考查了用函数的奇偶性定义证明函数的奇偶性以及用导数求函数的单调区间，用导数证明不等式，本题综合性很强，对做题都观察转化的能力要求较高，是导数应用这一部分的难题．