Question

已知函数f（x）=x³+2bx²+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x+10
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g(x)=f(x)+

1

3

mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值．

Answer 1

分析：（1）先求出切点和导数，利用导数的几何意义即可求出b、c；
（2）g（x）的极值存在?g^′（x）=0有两个不等实数根，解出即可．

解答：解：（1）∵切线方程是y=5x+10，∴与x轴的交点为（-2，0），即为切点．
∵f^′（x）=3x²+4bx+c，∴

f′(-2)=5 f(-2)=0

即

12-8b+c=5 -8+8b-2c-2=0

，解得

b= 1 2 c=-3

．
∴f（x）=x³+x²-3x-2．
（2）由（1）可知：g（x）=x3+x2+(

1

3

m-3)x-2，
∴g^′（x）=3x2+2x+

1

3

m-3．
∵g（x）的极值存在，∴g^′（x）=0必有两个不相等的实数根，即△=4-4m+36＞0，
解得m＜10．
令g^′（x）=0，解得x1=

-3- 10-m

9

，x2=

-3+ 10-m

9

，易知x₁＜x₂．
如列表：由表格可知：当x=x₁=

-3- 10-m

9

时，函数g（x）取得极大值；
当x=x₂=

-3+ 10-m

9

时，函数g（x）取得极小值．

点评：熟练掌握利用导数求切线的斜率和研究函数的极值是解题的关键．