Question

若函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值的个数为    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意根据函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上可得a的范围，然后对f（x）进行求导，求出函数在区间[-10，10]上的最大值，然后再进行判断．
解答：解：∵函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，又f（x）=x³-ax=x（x²-a）=0，令f（x）=0，∴x=0，或x=±．
函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，∴≤10，∴a≤100．
∵f′（x）=3x²-a，令f′（x）=0，解得 x=±．
当x＜-，或 x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数．当-＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数．
故当x=-时，函数取得极大值为f（-）=≤．
∵＜1000，∴f（10）=1000-10a＜1000，结合函数的单调性以及f（x）=x³-ax（a＞0），
知方程f（x）=1000有正整数解在区间[10，+∞）上，此时令x³-ax=1000，可得 x²-a=．
此时有a=x²-，由于x为大于10的整数，由上知 x²-≤100，令x=11，12，13时，不等式成立，
当x=14时，有142-=196-71＞100，故可得a的值有三个，
故答案为 3．
点评：此题考查函数的零点与方程根的关系，解题的关键是求出f（x）在区间[-10，10]上的值域，是一道好题，属于基础题．