题目内容
【题目】设圆
的圆心为A，直线
过点B（1,0）且与
轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（Ⅰ）证明：
为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线交C1于M,N两点，过B且与垂直的直线与C1交于P,Q两点， 求证：
是定值，并求出该定值.
【答案】（I）
（
）；（II）
【解析】
（I）根据几何关系，即可证明
为定值，再利用椭圆的定义即可求出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）利用点斜式设出直线
的方程，与椭圆方程联立方程组，得到关于
的一元二次方程，利用根与系数关系以及弦长公式表示出
，同理可得
，代入
中进行化简即可证明为定值。
（I）因为
，
，故
，
所以
，故
.
又圆
的标准方程为
，从而
，
所以
，由题设得
，
，
，
由椭圆定义可得点
的轨迹方程为：（）.
（II）依题意：与轴不垂直，设的方程为
,
,
.
由
得,
.
则
，
.
所以
.
同理：
故
(定值)
【题目】大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了100名魔方爱好者进行调查，得到的部分数据如表所示：已知在全部100人中随机抽取1人抽到喜欢盲拧的概率为
．
喜欢盲拧 | 不喜欢盲拧 | 总计 | |
男 | 10 | ||
女 | 20 | ||
总计 | 100 |
表（1）
并邀请这100人中的喜欢盲拧的人参加盲拧三阶魔方比赛，其完成时间的频率分布如表所示：
完成时间（分钟） | [0，10） | [10，20） | [20，30） | [30，40] |
频率 | 0.2 | 0.4 | 0.3 | 0.1 |
表（2）
（Ⅰ）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？
（Ⅱ）现从表（2）中完成时间在[30，40] 内的人中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，记完成时间在[30，40]内的甲、乙、丙3人中恰有一人被抽到为事件A，求事件A发生的概率．
（参考公式：
，其中
）
P（K2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
