Question

函数f（x）定义域为[0，+∞），当x≥0时可导，又x≥0时，不等式f（x）+f′（x）＞0恒成立，且满足f（0）=1，则不等式f（x）＞e^-x的解集为

（0，+∞）

．

Answer 1

分析：构造函数h（x）=f（x）•e^x，利用导数法分析函数的单调性，进而求出h（x）＞h（0）=1在（0，+∞）恒成立，即不等式的解集．

解答：解：令h（x）=f（x）•e^x
则h′（x）=[f（x）+f′（x）]•e^x
∵x≥0时，不等式f（x）+f'（x）＞0恒成立，
∴h′（x）＞0在[0，+∞）上恒成立
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增
∴h（x）≥h（0）=1恒成立
即f（x）≥e^-x恒成立
当且仅当x=0时取等
故不等式f（x）＞e^-x的解集为（0，+∞）
故答案为：（0，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，导数的运算，其中构造函数h（x）=f（x）•e^x，利用其单调性解答不等式是解答的关键．