Question

某种海洋生物身体的长度（单位：米）与生长年限t（单位：年）
满足如下的函数关系：.（设该生物出生时t=0）
（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；
（2）设出生后第年，该生物长得最快，求的值.

Answer 1

（1）6年；（2）4或5．

解析试题分析：（1）求需经过多少时间，该生物的身长超过8米，实质就是解不等式，不等式解集中的最小值就是本题结论；（2）首先要搞懂什么是“长得最快”，“长得最快”就是说明这一年该生物身体增长的长度最大，因此实质就是求的最大值，即就是这个最大值，下面我们只要求出，分析它的最大值是在为何值时取得，
，此式较繁，因此我们用换元法，设，由有
，它的最大值求法一般是分子分母同时除以，然后用基本不等式及不等式的性质得到结论．
试题解析：（1）设，即，解得，
即该生物6年后身长可超过8米；              5分
（2）设第年生长最快，于是有
，    8分
令，则，
令，    11分
等号当且仅当即，，时成立，因为，因此可能值为4或5，由知，所求有年份为第4年和第5年，两年内各生长了米．   14分
考点：（1）解不等式；（2）换元法与函数的最值．