Question

函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）•f（y），当x＞1时，0＜f（x）＜1，且f（2）=．
（1）求证：；
（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性；并证明；
（3）若f（m）=3，求正实数m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=1，y=2，结合f（2）=可求得f（1）=1，再令y=，可证明；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则，作差f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）[1-f（）]，结合（1）即可判断f（x）在（0，+∞）上是单调递减性；
（3）由=可求得f（）=3，结合（2）f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数可求m的值．
解答：证明：（1）令x=1，y=2，得f（2）=f（1）f（2），又，
∴f（1）=1，…（2分）
令，得；  …（4分）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（）=f（x₁）-f（）f（x₁）=f（x₁）[1-f（）]，…（7分）
而当x＞0时，，且由（1）可知，，f（x）≠0，
则当x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x₁）＞0，1-f（）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
则f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数；…（10分）
（3）∵，
∴f（）==9，
又，且，
∴f（）=3，…（13分）
∵f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，m是正实数，
∴m=…（16分）
点评：本题考查抽象函数及其用，关键在于对条件及证明过的结论的灵活应用，属于难题．