题目内容

若函数y=f（x）对于一切实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
（1）求f（0）并证明y=f（x）是奇函数；
（2）若f（1）=3，求f（-3）．
分析：（1）令x=y=0，可解得f（0）=0，再令y=-x，即可证得y=f（x）是奇函数；
（2）利用f（1）=3，f（x+y）=f（x）+f（y），可求得f（3），再利用y=f（x）是奇函数即可求得f（-3）的值．
解答：证明：（1）令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），
解得f（0）=0；
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），
∴y=f（x）是奇函数；
（2）解：∵f（1）=3，f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=[f（1）+f（1）]+f（1）=3f（1）=9，
又y=f（x）是奇函数；
∴f（-3）=-f（3）=-9．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法，考查函数奇偶性的判断与应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
下列命题：
①G2=ab是三个数a、G、b成等比数列的充要条件；
②若函数y=f（x）对任意实数x都满足f（x+2）=-f（x），则f（x）是周期函数；
③对于命题p：?x∈R，2x+3＞0，则?p：?x∈R，2x+3＜0；
④直线
2
(x+y)+1+a=0与圆C：x2+y2=a（a＞0）相离．
其中不正确命题的序号为
 
（把你认为不正确的命题序号都填上）．
若函数y=f（x）对定义域D的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使f（x1）f（x2）=1成立，则称f（x）为“自倒函数”，下列命题正确的是
（1），（3）
（1），（3）
．（把你认为正确命题的序号都填上）
（1）f（x）=sinx+
2
（x∈[-
π
2
，
π
2
]）是自倒函数；
（2）自倒函数f（x）的值域可以是R
（3）自倒函数f（x）可以是奇函数
（4）若y=f（x），y=g（x）都是自倒函数，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是自倒函数．
若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，都存在唯一的x2，使y=f（x1）f（x2）=1成立，则 称此函数为“滨湖函数”．下列命题正确的是
②③
②③
．（把你认为正确的序号都填上）
①y=
1
x2
是“滨湖函数”；
②y=
2
+sinx（x∈[-
π
2
，
π
2
]）I是“滨湖函数”；
③y=2x是“滨湖函数”；
④y=lnx是“滨湖函数”；
⑤y=f（x），y=g（x）都是“滨湖函数”，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是“滨湖函数”
若函数y=f（x）对任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，恒有f（x）＜0
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；               
（2）判断函数f（x）的单调性并证明；
（3）若f（2）=1，解不等式f（-x2）+2f（x）+4＜0．
已知函数y=f（x）是定义在R上的函数．
（1）若函数y=f（x）满足：f（xy）=f（x）+f（y），f(
1
3
)=1，
①求f（1），f(
1
9
)的值，
②若函数y=f（x）是定义域为R+的减函数，且f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．
（2）若函数y=f（x）对一切x∈R满足f（x+2）=-f（x），求证：f（x）是周期函数；
（3）若函数y=f（x）对一切x、y∈R满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证：f（x）是奇函数．

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