Question

选修4-5：不等式选讲
（I）已知|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1．求证：2＜x₁-x₂＜6，|x₁-x₂|＜2．
（II）设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=k，求证：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥

9

k

．

Answer 1

分析：（I）解不等式|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1，利用不等式同号可加性，可证得2＜x₁-x₂＜6，根据绝对值的性质|x₁-x₂|=|（x₁-2）-（x₂-2）|≤|x₁-2|+|x₂-2|，可证明，|x₁-x₂|＜2．
（II）由a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=k，可得k•(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)=(a1+a2+a3)•(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)利用柯西不等式可得(a1+a2+a3)•(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥9，进而利用不等式基本性质1，得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1
∴1＜x₁＜3，1＜x₂＜3
∴2＜x₁+x₂＜6…（2分）
∵|x₁-x₂|=|（x₁-2）-（x₂-2）|≤|x₁-2|+|x₂-2|＜1+1=2
∴|x₁-x₂|＜2…（4分）
（Ⅱ）∵k•(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)=(a1+a2+a3)•(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥(

a1

•

1

a1

+

a2

•

1

a2

+

a3

•

1

a3

)2=9…（6分）
又因为k=a₁+a₂+a₃＞0，所以

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥

9

k

…（7分）

点评：本题考查的知识点是不等式的证明，熟练掌握绝对值不等式的解法及柯西不等式是解答的关键．