题目内容
自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B，乙线路是A-E-F-G-H-B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表所示：
经调查发现堵车概率x在（
，1）上变化，y在（0，
）上变化．在不堵车的状况下，走甲路线需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到如表数据．
（Ⅰ）根据右表数据画出CD段堵车时间频率分布直方图并求CD段平均堵车时间a的值；
（Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．
| 堵车时间（小时） | 频数 |
| [0，1] | 8 |
| （1，2] | 6 |
| （2，3] | 38 |
| （3，4] | 24 |
| （4，5] | 24 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 路段 | CD | EF | GH | ||
| 堵车概率 | x | y |
| ||
| 平均堵车时间（小时） | a | 2 | 1 |
（Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．
考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,列举法计算基本事件数及事件发生的概率
专题：概率与统计
分析：（1）由已知数据能画出CD段堵车时间频率分布直方图，用总的堵车时间除以总人数100人，即得到平均堵车时间；
（2）利用独立事件求出每种情况的概率，选择甲路线说明甲需汽油费少，利用线性规划化画出区域图，再利用几何概型求概率．
（2）利用独立事件求出每种情况的概率，选择甲路线说明甲需汽油费少，利用线性规划化画出区域图，再利用几何概型求概率．
解答：
解：（1）由CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，
得到数据统计表，
作出CD段堵车时间频率分布直方图，如右图．
a=0.5×
+1.5×
+2.5×
+3.5×
+4.5×
=3．
（2）设走甲线路所花汽油费为X元，
则EX=500（1-x）+（500+60）x=500+60x．
设走乙线路多花的汽油费为Y元，∵EF段与CH段堵车与否相互独立，
∴P（Y=0）=（1-y）（1-
），
P（Y=20）=（1-y）•
，
P（Y=40）=y（1-
），
P（Y=60）=
y，
∴EY=0•(1-y)(1-
)+20•(1-y)•
+40y(1-
)+60•
y=40y+5．
∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为E（545+Y）=545+E（Y）=550+40y，
依题意，选择走甲线路应满足（550+40y）-（500+60x）≥0，
即6x-4y-5≤0，又
＜x＜1，0＜y＜
，
∴P（选择走甲线路）=
=
．
得到数据统计表，
作出CD段堵车时间频率分布直方图，如右图．
a=0.5×
| 8 |
| 100 |
| 6 |
| 100 |
| 38 |
| 100 |
| 24 |
| 100 |
| 24 |
| 100 |
（2）设走甲线路所花汽油费为X元，
则EX=500（1-x）+（500+60）x=500+60x．
设走乙线路多花的汽油费为Y元，∵EF段与CH段堵车与否相互独立，
∴P（Y=0）=（1-y）（1-
| 1 |
| 4 |
P（Y=20）=（1-y）•
| 1 |
| 4 |
P（Y=40）=y（1-
| 1 |
| 4 |
P（Y=60）=
| 1 |
| 4 |
∴EY=0•(1-y)(1-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为E（545+Y）=545+E（Y）=550+40y，
依题意，选择走甲线路应满足（550+40y）-（500+60x）≥0，
即6x-4y-5≤0，又
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴P（选择走甲线路）=
(1-
| ||||||||||
(1-
|
| 7 |
| 8 |
点评：本题考查利用频率分布表求平均数，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量分布列，数学期望，几何概型等基础知识；考查运用统计、概率、数学期望等数学知识解决实际问题的能力，以及运算求解能力，考查数形结合数学思想方法．
练习册系列答案
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| A、-1 | ||
B、-
| ||
C、
| ||
| D、1 |
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| ||
B、2
| ||
| C、4 | ||
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| B、大前提错误 |
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