Question

对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：1－)为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3)．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(x＞a－1)，用y质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c(0.8＜c＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度．

(1)分别求出方案甲以及c＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；

(2)若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有＝0.99，解得x＝19． 　　由c＝0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程0.99，解得y＝4a，故z＝4a＋3．即两种方案的用水量分别为19与4a＋3． 　　因为当1≤a≤3时，x－z＝4(4－a)＞0，即x＞z，故方案乙的用水量较少． 　　答：两种方案的用水量分别为19与4a＋3．方案乙的用水量较少． 　　(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似(1)得 　　x＝，y＝a(99－100c)，(*) 　　于是x＋y＝＋a(99－100c)＝＋100a(1－c)－a－1． 　　当a为定值时，x＋y≥－a－1＝－a＋－1， 　　当且仅当＝100a(1－c)时等号成立．此时 　　c＝1＋(不合题意，舍去)，或c＝1－∈(0.8，0.99)， 　　将c＝1－代入(*)式得x＝－1＞a－1，y＝－a． 　　故c＝1－时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为－1与－a，最少总用水量是T(a)＝－a＋－1．当1≤a≤3时，T′(a)＝－1＞0， 　　故T(a)是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)．这说明，随着a的值的减小，总用水量减小．