Question

对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：(1-)为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(x＞a-1)，用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c(0.8＜c＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.

(1)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；

(2)若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

Answer 1

解：(1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99.解得x=19.

    由c=0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程=0.99，解得y=4a，故z=4a+3.

    即两种方案的用水量分别为19与4a+3.

    因为当1≤a≤3时，x-z=4(4-a)＞0，即x＞z,故方案乙的用水量较少.

(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似(1)得

x=，y=a(99-100c)(*).

    于是x+y=+a(99-100c)

=+100a(1-c)-a-1.

    当a为定值时，x+y

≥2-a-1=-a+4-1.

    当且仅当=100a(1-c)时等号成立，此时c=1+(不合题意，舍去)，

    或c=1-∈(0.8,0.99).

    将c=1-代入(*)式得x=2-1＞a-1,y=2-a.

    故c=1-时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为2-1与2-a，最少总用水量T(a)=-a+4-1.

    当1≤a≤3时，T′(a)=-1＞0，故T(a)是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明，随着a的值的增加，最少总用水量增加.