Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，且圆C：x2+y2+

3

x-3y-6=0过A，F₂两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率k_QB，k_QC存在且不为0，求证：k_QB•k_QC为定值；
（3）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=

2π

3

时，证明：点P在一定圆上．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义即可求出；
（2）根据关于原点对称的点的特点及点Q在椭圆上即可证明；
（3）利用两角差的正切公式及斜率公式即可证明．

解答：解：（1）由圆C：x2+y2+

3

x-3y-6=0，令y=0，化为x2+

3

x-6=0，解得x=2

3

或

3

，
∴A(-2

3

，0)，F2(

3

，0)，∴a=2

3

，c=

3

，∴b2=(2

3

)2-(

3

)2=9．
∴椭圆E的方程为

x2

12

+

y2

9

=1；
（2）由于点B、C是直线与椭圆的两交点，∴B、C两点关于原点对称，设B（m，n），则C（-m，-n）．
设Q（x，y）．由于点B、Q在椭圆上，则

m2

12

+

n2

9

=1，

x2

12

+

y2

9

=1；
两式相减得

x2-m2

12

+

y2-n2

9

=0，即

y2-n2

x2-m2

=-

3

4

．
∴k_QC•k_QB=

y+n

x+m

•

y-n

y-m

=

y2-n2

x2-m2

=-

3

4

，
∴kQB•kQC=-

3

4

．
（3）设P（x，y），∵F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
∴kPF1=tanβ=

y

x+ 3

，kPF2=tanα=

y

x- 3

，
∵β-α=

2π

3

，∴tan（β-α）=-

3

，
∴

y x+ 3 - y x- 3

1+ y x+ 3 × y x- 3

=-

3

，化为x²+y²-2y=3，即x²+（y-1）²=4．
∴点P在定圆x²+（y-1）²=4上．

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义、关于原点对称的点的特点、斜率的计算公式及两角差的正切公式、圆的方程是解题的关键．