Question

如图所示，在中，，，N在y轴上，且，点E在x轴上移动．

（Ⅰ）求点M的轨迹方程；

（Ⅱ）过点作互相垂直的两条直线，与点M的轨迹交于点A、B，与点M的轨迹交于点C、D，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

Ⅰ）设  ，，则，

且，即

∴，      所以点F的轨迹方程为．（）…………（6分）

（Ⅱ）设，，，，

直线的方程为：，，则直线的方程为

由得：；

则    同理可得：

∵

，当且仅当时，取等号．

∴的最小值为12．   

【解析】(I)设M（x,y），然后对向量条件坐标化再化简即可得到所求M的轨迹方程.

（II）设，，，，，

然后再利用直线的方程分别与M的轨迹方程联立，消去x,代入上式即可得到关于k的函数关系式，进而利用函数的方法求其最小值