Question

直线与椭圆相交于A，B两点，该椭圆上点P使△PAB的面积等于6，这样的点P有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

【答案】分析：联解直线与椭圆方程，得A（4，0）、B（0，3），得|AB|=5，结合△PAB的面积等于6算出P到AB的距离为d为．然后求出与已知直线平行，且与椭圆相切的直线l₁与l₂，算出两条直线一条与椭圆有两个交点而另一条与椭圆无交点，由此即可得到使△PAB的面积等于6的点P有2个．
解答：解：联解直线与椭圆，得或
∴直线与椭圆的交点为A（4，0）和B（0，3），得|AB|==5
设点P到AB的距离为d，则S_△PAB=×|AB|×d=6
即×5×d=6，解之得d=
再设平行于直线与椭圆相切的直线为3x+4y+m=0
与椭圆联解，可得m=
由此可得两条平行于直线的切线分别为
l₁：3x+4y+12=0和l₂：3x+4y-12=0
∵l₁与直线的距离d₁==（）＜
l₂直线的距离d₂==（）＞
∴l₁与l₂中，l₁与椭圆相交，有两个交点，
而l₂椭圆相离，没有交点．因此有两个P点使△PAB的面积等于6
故选：B
点评：本题给出直线与椭圆相交于A、B，求椭圆上点P，满足使△PAB的面积等于6的点的个数．着重考查了椭圆的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．