Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，经过点P（

2

，1）且离心率e=

2

2

．过定点C（-1，0）的直线与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使MA•MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的标准方程，根据题设条件和a，b和c的关系联立方程求得a和b，进而可得椭圆的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+1）．椭圆与直线方程联立消元．根据韦达定理求得交点横坐标的和与积，根据题设中的向量的关系求得m，进而得出M的坐标；当直线AB与x轴垂直时，则直线AB的方程为x=-1．进而求得A和B的坐标，求得m．最后综合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)
由已知可得

a2=b2+c2 c a = 2 2 2 a2 + 1 b2 =1

，
解得a²=4，b²=2．
所求椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+1）．

y=k(x+1) x2+2y2-4=0

⇒(1+2k2)x2+4k2x+2k2-4=0x1+x2=-

4k2

1+2k2

，
x1x2=

2k2-4

1+2k2

，
y1y2=k2(x1+1)(x2+1)=k2(x1x2+x1+x2+1)=-

3k2

1+2k2

MA

•

MB

=(x1-m，y1)(x2-m，y2)=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2
=

2k2-4

1+2k2

+

4mk2

1+2k2

+m2+

-3k2

1+2k2

=

(2m2+4m-1)k2+m2-4

1+2k2

=

1 2 (2m2+4m-1)(2k2+1)- 1 2 (2m2+4m-1)+m2-4

1+2k2

=

1

2

(2m2+4m-1)-

2m+ 7 2

1+2k2

∵

MA

•

MB

是与k无关的常数，
∴2m+

7

2

=0
∴m=-

7

4

，即M(-

7

4

，0)．
此时，

MA

•

MB

=-

15

16

．
当直线AB与x轴垂直时，则直线AB的方程为x=-1．
此时点A，B的坐标分别为(-1，

6

2

)，(-1，-

6

2

)
当m=-

7

4

时，亦有

MA

•

MB

=-

15

16

综上，在x轴上存在定点M(-

7

4

，0)，使

MA

•

MB

为常数．

点评：本题主要考查了椭圆的方程和直线与椭圆的关系．当解决直线与椭圆的关系时，常需要联立方程进行消元．