Question

P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，=（2，-1，-4），=（4，2，0），=（-1，2，-1）．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）对于向量=（x₁，y₁z₁），，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义．

Answer 1

解：（1），∴，即AP⊥AB．，即PA⊥AD．
∴PA⊥面ABCD．
（2），又，
V=
猜测：在几何上可表示以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积（或以AB，AD，AP为棱的四棱柱的体积）．
分析：（1）证明与平面ABCD内的两个不共线的向量垂直，即证明与此平面内的两个不共线的向量的数量积等于0．
（2）根据体题中定义的运算法则，化简 的结果，发现此值正好等于以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积．
点评：本题考查直线和平面垂直的方法，以及利用题中的新定义的运算法则计算的结果，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．