题目内容
已知函数f（x）=x2-2|x|．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）依图象写出函数的单调区间，并对函数f（x）在（-1，0）上的单调性加以证明．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）依图象写出函数的单调区间，并对函数f（x）在（-1，0）上的单调性加以证明．
分析：（Ⅰ）根据函数的定义域是R，再根据f（-x）=f（x），可得函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）画出函数f（x）=
图象，数形结合可得函数的单调性，再利用函数的单调性的定义进行证明．
（Ⅱ）画出函数f（x）=
|
解答：
解：（Ⅰ）函数是偶函数，定义域是R，
∵f（-x）=（-x）2-2|-x|=x2-2|x|=f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）画出函数f（x）=
图象，
数形结合可得函数，如图：
单调递增区间为（-1，0），（1，+∞），
递减区间为（-∞，-1），（0，1）．
证明：当x∈（-1，0）时，∵f（x）=x2+2x，
设-1＜x1＜x2＜0，则x1-x2＜0，且x1+x2＞-2，即x1+x2+2＞0，
∵f(x1)-f(x2)=(
-
)+2(x1-x2)=（x1-x2）（x1+x2+2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
所以，函数f（x）在（-1，0）上是单调递增函数．
解：（Ⅰ）函数是偶函数，定义域是R，∵f（-x）=（-x）2-2|-x|=x2-2|x|=f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）画出函数f（x）=
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数形结合可得函数，如图：
单调递增区间为（-1，0），（1，+∞），
递减区间为（-∞，-1），（0，1）．
证明：当x∈（-1，0）时，∵f（x）=x2+2x，
设-1＜x1＜x2＜0，则x1-x2＜0，且x1+x2＞-2，即x1+x2+2＞0，
∵f(x1)-f(x2)=(
| x | 2 1 |
| x | 2 2 |
∴f（x1）＜f（x2），
所以，函数f（x）在（-1，0）上是单调递增函数．
点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
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