Question

【题目】点、、分别是正方体的棱,,的中点,则下列命题中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.

①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多可以四个面都是直角三角形;

②点在直线上运动时,总有;

③点在直线上运动时,三棱锥的体积是定值;

④若是正方体的面,（含边界）内一动点,且点到点和的距离相等,则点的轨迹是一条线段.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根据题意画出正方体.

根据图像可知四个面都是直角三角形,①对;根据图象易证面,所以不论点在直线上如何运动,总有,②对;根据等体积关系有,面不变,但高在变,所以三棱锥的体积不是定值,③错;

④以为轴,以为轴建平面直角坐标系,设,棱长为1.根据距离公式可得,.且, 的轨迹是线段.④对.

解:画出正方体.

①四面体及四个面都是直角三角形,①对;

②在平面中有,又正方体中,从而可以得到面,所以不论点在直线上如何运动,总有,②对;

③因为,面不变,底面面积不变,点在直线上运动时,点到平面的距离在变,即高在变,所以三棱锥的体积不是定值,③错;

④以为轴,以为轴在平面所在平面建平面直角坐标系,设,棱长为1.则,.因为,所以,即的轨迹是线段.④对.

故答案为: ①②④