Question

已知函数f（x）=x³+2bx²+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，切点为（2，0），
故有f（2）=0，即4b+c+3=0，①
f′（x）=3x²+4bx+c，
由已知，得8b+c+7=0，②
联立①、②，解得c=1，b=1，
于是函数解析式为f（x）；
（Ⅱ），
，
令g′（x）=0，当函数有极值时，△≥0，方程有实根，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1，
①当m=1时，g′（x）=0有实根，在左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）=0无极值；
②m＜1时，g′（x）=0有两个实根，，
当x变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：

故在m时，函数g（x）有极值，
当时，g（x）有极大值；当时，g（x）有极小值。