Question

若A，B是双曲线8x²-y²=8的两焦点，点C在该双曲线上，且△ABC是等腰三角形，则△ABC的周长为    ．

Answer 1

【答案】分析：首先将方程转化成标准方程，然后求出焦点坐标，△ABC为等腰三角形有三种情况：AC=BC，AB=AC，AB=BC，当AC=BC时，这在双曲线中是不可能的，当AB=AC时，根据双曲线定义得出|AC-BC|=2a，求出BC的长，即可求出周长；当AB=BC时，根据对称性，求出结果．
解答：解：8x²-y²=8化为标准方程：x²-=1，则c²=1+8=9，即c=3，
所以焦点A（-3，0），B（3，0）；
△ABC为等腰三角形有三种情况：AC=BC，AB=AC，AB=BC；
（1）AC=BC，这在双曲线中是不可能的，因为双曲线满足|AC-BC|=2a，
              显然AC不可能等于BC；
（2）AB=AC，因为AB=6，所以AC=6，由第一定义：|AC-BC|=2a=2，得BC=8或4
                       所以周长为16或20；
（3）AB=BC，根据对称性，结果同（2）；
所以，△ABC的周长为16或20
故答案为：16或20．
点评：本题考查了双曲线的简单性质，灵活运用双曲线的定义是解题的关键，属于中档题．