Question

在平面直角坐标系中，定义

xn+1=yn-xn yn+1=yn+xn

(n∈N)为点Pn(xn，yn)到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换为“γ变换”，已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1）是经过“γ变换”得到的一列点．设an=|PnPn+1|，数列{an}的前n项和为Sn，那么

lim

n→∞

Sn

an

的值为（　　）

A． 2

B．2- 2

C．2+ 2

D．1+ 2

Answer 1

由题设知p₁（0，1），P₂（1，1），p₃（0，2），P₄（2，2），P₅（0，4），…
∴a₁=|（0，1）•（1，1）|=1，a₂=|（1，1）•（0，2）|=2，
a₃=|（0，2）•（2，2）|=4，a₄=|（2，2）•（0，4）|=8，
…
∴a_n=2^n-1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=1+2+4+8+…+2^n-1=2ⁿ-1．
∴

lim

n→∞

Sn

an

=

lim

n→∞

2n-1

2n-1

=2．
故选C．