Question

10．设b_n=（n+1）²，a_n=n（n+1），求证：$\frac{1}{a{\;}_{1}+b{\;}_{1}}$+$\frac{1}{a{\;}_{2}+b{\;}_{2}}$+…+$\frac{1}{a{\;}_{n}+b{\;}_{n}}$＜$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 通过b_n=（n+1）²、a_n=n（n+1）可知a_n+b_n=（n+1）（2n+1），通过放缩可知$\frac{1}{{a}_{n}+{b}_{n}}$＜$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），从第二项起并项相加即得结论．

解答 证明：∵b_n=（n+1）²，a_n=n（n+1），
∴a_n+b_n=（n+1）²+n（n+1）=（n+1）（2n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}+{b}_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）（2n+1）}$＜$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{a{\;}_{1}+b{\;}_{1}}$+$\frac{1}{a{\;}_{2}+b{\;}_{2}}$+…+$\frac{1}{a{\;}_{n}+b{\;}_{n}}$
＜$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）}$
＜$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．