Question

1．已知函数f（x）=lnx+mx²（m∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若m=0，A（a，f（a））、B（b，f（b））是函数f（x）图象上不同的两点，且a＞b＞0，f′（x）为f（x）的导函数，求证：f′（$\frac{a+b}{2}$）＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜f′（b）；
（Ⅲ）求证：$\frac{2}{3}+\frac{2}{5}+\frac{2}{7}+…+\frac{2}{2n+1}$＜ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过函数f（x）的解析式可知其定义域为（0，+∞）、f′（x）=$\frac{1+2m{x}^{2}}{x}$，结合导数知识分m≥0、m＜0两种情况讨论即可；
（Ⅱ）通过（I）及m=0可知问题转化为证明$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{lna-lnb}{a-b}$＜$\frac{1}{b}$．对于要证$\frac{lna-lnb}{a-b}$＜$\frac{1}{b}$，通过换元法即证函数g（t）=lnt-t+1满足g（t）＜g（1）=0即可；对于要证$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{lna-lnb}{a-b}$，通过换元法令t=$\frac{a}{b}$，即证（t+1）lnt-2（t-1）＞0，通过令h（t）=（t+1）lnt-2t+2，利用h″（t）＞0可知h′（t）＞h′（1）=0，从而可得结论；
（Ⅲ）通过（II）可知$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{lna-lnb}{a-b}$＜$\frac{1}{b}$（a＞b＞0），通过令a=n+1、b=n可知$\frac{2}{2n+1}$＜ln（n+1）-lnn＜$\frac{1}{n}$，利用ln（n+1）=[ln（n+1）-lnn]+…+（ln3-ln2）+（ln2-ln1）累加计算即得结论．

解答 （Ⅰ）解：依题意，f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2mx=$\frac{1+2m{x}^{2}}{x}$，
当m≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当m＜0时，令f′（x）=0得x=$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$，
当x∈（0，$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$）时f′（x）＞0，此时f（x）在区间（0，$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$）上单调递增；
当x∈（$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$，+∞）时f′（x）＜0，此时f（x）在区间（$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$，+∞）上单调递减；
综上所述，当m≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＜0时f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$）上单调递增、在（$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）证明：由（I）及m=0可知f（x）=lnx、f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴要证f′（$\frac{a+b}{2}$）＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜f′（b），即证$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{lna-lnb}{a-b}$＜$\frac{1}{b}$．
要证$\frac{lna-lnb}{a-b}$＜$\frac{1}{b}$，只需证ln$\frac{a}{b}$＜$\frac{a}{b}$-1，
令t=$\frac{a}{b}$，则t＞1，即证lnt-t+1＜0，
令g（t）=lnt-t+1，则g′（t）=$\frac{1}{t}$-1＜0，
∴g（t）＜g（1）=0，得证；
要证$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{lna-lnb}{a-b}$，只需证ln$\frac{a}{b}$＞$\frac{2（\frac{a}{b}-1）}{\frac{a}{b}+1}$，
令t=$\frac{a}{b}$，则t＞1，即证（t+1）lnt-2（t-1）＞0，
令h（t）=（t+1）lnt-2t+2，则h′（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1，
∵h″（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{1}{t}$（1-$\frac{1}{t}$）＞0，
∴h′（t）＞h′（1）=0，
∴h（t）＞h（1）=0，得证；
综上所述，f′（$\frac{a+b}{2}$）＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜f′（b）；
（Ⅲ）证明：由（II）可知$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{lna-lnb}{a-b}$＜$\frac{1}{b}$（a＞b＞0），
令a=n+1、b=n，则有$\frac{2}{2n+1}$＜ln（n+1）-lnn＜$\frac{1}{n}$，
∵ln（n+1）=[ln（n+1）-lnn]+…+（ln3-ln2）+（ln2-ln1），
∴$\frac{2}{3}+\frac{2}{5}+\frac{2}{7}+…+\frac{2}{2n+1}$＜ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$（n∈N^*）．

点评 本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．