Question

过抛物线y²=x的焦点F的直线l的倾斜角θ≥，l交抛物线于A、B两点，且A在x轴的上方，则|AF|的取值范围是（    ）

A.(，1+)                         B.［，１

C.［，１］                              D.(，1)

Answer 1

解法一：如图所示.

设A（x₀，y₀），焦点F（，0）.

由抛物线的定义得|AF|=x₀+.

∴|AF|=x₀+.

当θ=时，直线AB：y-0=tan（x-），即y=x-.

由解得或

∵A在x轴上方，∴此时x₀=.

由图得,当θ≥时,0＜x₀≤.

∴＜|AF|≤+=1+.

∴|AF|的取值范围是（，1+.

故选A.

解法二：如图所示.

设A(x₀,y₀)(y₀＞0),焦点F(,0).

由抛物线定义得|AF|=x₀+=x₀+.

当θ=时,过A作AM⊥x轴于M,

则△AMF是等腰直角三角形.

∴此时x₀=|OF|+|FM|=|OF|+|AM|=|OF|+y₀.

∴此时有x₀=+y₀.

又∵y₀=x₀=-，又∵|AF|=|AM|=y₀，

∴x₀+=（x₀-）.∴（-1）x₀=.

∴此时x₀==.

∴当θ≥时，0＜x₀≤.

又∵|AF|=x₀+,∴|AF|的取值范围是(,1+.故选A.

答案：A