Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，AD=，点E是棱PB的中点．
（1）求直线AD到平面PBC的距离；
（2）求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．
（3）求三棱锥P-ECD的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）易知直线AD∥平面PBC，故直线AD到平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，只需利用线面垂直的判定定理证明AE⊥平面PBC，再在三角形中计算线段AE的长即可
（2）先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再分别求两个半平面：平面AEC，平面ECD的法向量，最后将求二面角问题转化为求法向量夹角问题，利用数量积夹角公式计算即可
（3）先将求三棱锥P-ECD的体积，转化为求三棱锥D-PEC的体积问题，这样，便于计算底面△PEC的面积，而椎体的高可利用（1）的结论，最后由椎体体积公式计算即可
解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴BC⊥PA，∵BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE，
∵PA=AB，E是棱PB的中点，
∴PB⊥AE，PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC
∴直线AD到平面PBC的距离即为线段AE的长
在直角三角形PAB中，PA=AB=，
∴AE=×=
∴直线AD到平面PBC的距离为
（2）如图建立空间直角坐标系：则A（0，0，0），E（，0，），C（，，0），D（0，，0）
∴=（，0，），=（，，0），=（，，） =（，0，0）
设平面AEC的法向量为=（x，y，z），
则，
即，取=（1，-，-1）
设平面ECD的法向量为=（x，y，z），
则，
即，取=（0，1，）
cos==-
∵由图可知二面角A-EC-D的平面角为锐角
∴二面角A-EC-D的平面角的余弦值为
（3）由（1）知直线AD到平面PBC的距离为，
∴点D到平面PEC的距离为
∵V_P-ECD=V_D-PEC====
∴三棱锥P-ECD的体积为
点评：本题考察了直线与平面距离的求法，二面角的求法，三棱锥体积的求法，转化化归的思想方法，将空间问题转化为平面问题是解决本题的关键