题目内容

关于函数f（x）=cos（2x-
π
3
）+cos（2x+
π
6
），有下列命题：
①y=f（x）的最大值为
2
；
②y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
③y=f（x）在区间（
π
24
，
13π
24
）上单调递减；
④将函数y=
2
cos2x的图象向左平移
π
24
个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是
①②③
①②③
．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
分析：利用两角和差的正余弦公式可把f（x）化为
2
sin(2x+
5π
12
)，进而利用正弦函数的性质即可判断出答案．
解答：解：函数f（x）=cos（2x-
π
3
）+cos（2x+
π
6
）=
1
2
cos2x+
3
2
sin2x+
3
2
cos2x-
1
2
sin2x
=
1+
3
2
cos2x+
3
-1
2
sin2x=
2
(
6
+
2
4
cos2x+
6
-
2
4
sin2x)=
2
sin(2x+
5π
12
)．
∴函数f（x）的最大值为
2
，因此①正确；
周期T=
2π
2
=π，因此②正确；
当x∈(
π
24
，
13π
24
)时，(2x+
5π
12
)∈(
π
2
，
3π
2
)，因此y=f（x）在区间（
π
24
，
13π
24
）上单调递减，因此③正确；
将函数y=
2
cos2x的图象向左平移
π
24
个单位后，得到y=
2
cos2(x+
π
24
)
=
2
cos(2x+
π
12
)=
2
sin(
π
2
-2x-
π
12
)=-
2
sin(2x-
5π
12
)≠
2
sin(2x+
5π
12
)，因此④不正确．
综上可知：①②③．
故答案为①②③．
点评：熟练掌握两角和差的正余弦公式、正弦函数的性质是解题的关键．
练习册系列答案
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8、关于函数f（x）=2x-2-x（x∈R）有下列三个结论：①f（x）的值域为R；②f（x）是R上的增函数；③对任意x∈R，有f（-x）+f（x）=0成立；其中所有正确的序号为（　　）
设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，则下面关于函数f（x）判断正确的是（　　）
关于函数f（x）=（x2-2x-3）ex，给出下列四个判断：
①f（x）＜0的解集是{x|-1＜x＜3}；
②f（x）有极小值也有极大值；
③f（x）无最大值，也无最小值；
④f（x）有最大值，无最小值．
其中判断正确的是（　　）
给出定义：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）定义域是R，值域是[0，
1
2
]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=
k
2
(k∈Z)对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期是1；
④函数y=f（x）在[-
1
2
，
1
2
]上是增函数．
则其中真命题是（　　）
关于函数f（x）=sin2x-(
2
3
)|x|+
1
2
，有下列四个结论：
①f（x）为偶函数；     ②当x＞2003时，f（x）＞
1
2
恒成立；
③f（x）的最大值为
3
2
； ④f（x）的最小值为-
1
2
．其中结论正确个数为（　　）

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