Question

已知函数f(x)=ln(1+x)-

ax

1-x

(a∈R)
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若数列{a_m}的通项公式am=(1+

1

2013×2m+1

)2013，m∈N*，求证：a1•a2…am＜3，(m∈N*)．

Answer 1

（1）由题意，函数的定义域为（-1，1）∪（1，+∞），f′(x)=

1

1+x

-

a

(1-x)2

，---（1分）
当a≤0时，注意到

1

1+x

＞0，

a

(1-x)2

≤0，所以f′（x）＞0，
即函数f（x）的增区间为（-1，1），（1，+∞），无减区间；---（2分）
当a＞0时，f′(x)=

1

1+x

-

a

(1-x)2

=

x2-(2+a)x+1-a

(1+x)(1-x)2

，
由f^′（x）=0，得x²-2（2+a）x+1-a=0，
此方程的两根x1=

a+2- a2+8a

2

，x2=

a+2+ a2+8a

2

，
其中-1＜x₁＜1＜x₂，注意到（1+x）（1-x）²＞0，
所以f^′（x）＞0?-1＜x＜x₁或x＞x₂，
f^′（x）＜0?x₁＜x＜1或1＜x＜x₂，
即函数f（x）的增区间为（-1，x₁），（x₂，+∞），减区间为（x₁，1），（1，x₂），
综上，当a≤0时，函数f（x）的增区间为（-1，1），（1，+∞），无减区间；
当a＞0时，函数f（x）的增区间为（-1，x₁），（x₂，+∞），减区间为（x₁，1），（1，x₂），
其中x1=

a+2- a2+8a

2

，x2=

a+2+ a2+8a

2

．--（6分）
（2）证明：当a=1时，由（1）知，函数f(x)=ln(1+x)-

x

1-x

在（0，1）上为减函数，--（7分）
则当0＜x＜1时，f(x)=ln(1+x)-

x

1-x

＜f(0)=0，即ln(1+x)＜

x

1-x

，
令x=

1

2013×2m+1

 (m∈N*)，则ln(1+

1

2013×2m+1

) ＜

1

2013×2m

 ，
即ln(1+

1

2013×2m+1

)2013＜

1

2m

 ，所以am=(1+

1

2013×2m+1

)2013＜e 

1

2m

，---（10分）
又a_m＞0，所以a1•a2•…•am＜e 

1

2

•e 

1

4

…e 

1

2m

=e 1-

1

2m

＜e＜3．----（12分）