Question

平面直角坐标系中，O为坐标系原点，给定两点A（1，0），B（0，2），点C满足=α•+β•，其中α，β∈R，α-2β=1．
（1）求点C（x，y）的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线（a，b＞0）交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值．

Answer 1

解：（1）∵C（x，y），=α•+β•，∴（x，y）=α（1，0）+β（0，-2），
∴，
∵α-2β=1，∴x+y=1，即点C的轨迹方程为x+y=1．---------（6分）
（2）联立方程组，消去y，整理得（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0
依题意知b²-a²≠0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
∵以MN为直径的圆过原点，∴，即x₁x₂+y₁y₂=0
∴2x₁x₂+1-（x₁+x₂）=0，
∴2×（）+1-（）=0
化简可得=2为定值---------（16分）
分析：（1）利用=α•+β•，确定A，B，C坐标之间的关系，利用α-2β=1可得点C的轨迹方程；
（2）点C（x，y）的轨迹方程与双曲线联立，利用韦达定理及以MN为直径的圆过原点，即，化简可得结论．
点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程的求解，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．