Question

已知：f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a（a∈R，a）为常数）．
（I）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在x∈[-

π

6

，

π

6

]上最大值与最小值之和为3，求a的值；
（Ⅲ）在（2）条件下f（x）先按

m

平移后再经过伸缩变换后得到y=sinx．求

m

．

Answer 1

分析：（I）将函数解析式降幂，再用辅助角公式合并，得到f(x)=2sin(2x+

π

6

)+a+1，用函数y=Asin（ωx+φ）的周期的结论，可得f（x）的最小正周期；
（II）根据题意，得到2x+

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]，从而有-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，得到函数f（x）的最大、最小值的和为2a+3=3，得到a的值为0；
（Ⅲ）在（2）条件下f（x）先向右平移

π

12

单位，再向下平移1个单位，可得y=2sin2x的图象，由此可得向量

m

坐标．

解答：解：f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a=（cos2x+1）+

3

sin2x+a=(

3

sin2x+cos2x)+a+1
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)+a+1…（3分）
（1）函数的最小正周期T=

2π

2

=π…（4分）
（2）根据题意，x∈[-

π

6

，

π

6

]⇒2x∈[-

π

3

，

π

3

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1…（6分）
即

f(x)max=2+a+1 f(x)min=-1+a+1

，
∵最大值与最小值之和为3，
∴2a+3=3⇒a=0…（7分）
（3）由（2）得f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1
∴函数y=f（x）先向右平移

π

12

单位，再向下平移1个单位，可得y=2sin2x的图象…（9分）
最后将y=2sin2x图象上的点横坐标不变，纵坐标变换为原来的

1

2

，可得y=sinx的图象，
∴向量

m

=(

π

12

，-1)…（12分）

点评：本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期及其求法，以及三角函数的最值．熟练运用三角函数的恒等变换公式把f（x）化为一个角的正弦函数是解决本题的关键．