Question

已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴．

（1）确定与的关系；

（2）试讨论函数的单调性；

（3）证明：对任意，都有成立。

Answer 1

（1）依题意得，则

由函数的图象在点处的切线平行于轴得：

∴

（2）由（1）得-

∵函数的定义域为

   ∴①当时，在上恒成立，

由得，由得，

即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；-

当时，令得或，

②若，即时，由得或，由得，

即函数在，上单调递增，在单调递减；

③若，即时，由得或，由得，

即函数在，上单调递增，在单调递减；-

④若，即时，在上恒有，

即函数在上单调递增，

综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；

当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．

（3）证法一：由（2）知当时，函数在单调递增，，即，

令，则，

即

【证法二：构造数列，使其前项和，

则当时，，

显然也满足该式，

故只需证

令，即证，记，

则，

在上单调递增，故，

∴成立，

即．

【证法三：令，

则----10分

令则，

记-

∵∴函数在单调递增，

又即，

∴数列单调递增，又，∴