题目内容
已知函数f（x）=x2+2（a+1）x+2在区间[-2，3]上是单调函数，实数a的取值范围
a≤-4或a≥1
a≤-4或a≥1
．分析：由已知中函数的解析式f（x）=x2+2（a+1）x+2，根据二次函数的图象和性质，判断出函数f（x）在区间（-∞，-a-1]上是减函数，在区间[-a-1，+∞）上是增函数，再由函数在区间[-2，3]上为单调函数，可得区间在对称轴的同一侧，进而构造关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．
解答：解：∵函数f（x）=x2+2（a+1）x+2的图象是开口方向朝上，且以x=-a-1为对称轴的抛物线，
∴函数f（x）=x2+2（a+1）x+2在区间（-∞，-a-1]上是减函数，在区间[-a-1，+∞）上是增函数，
∵函数f（x）=x2+2（a+1）x+2在区间[-2，3]上是单调函数，
∴-a-1≤-2，或-a-1≥3，
解得a≥1或a≤-4．
故答案为：a≤-4或a≥1．
∴函数f（x）=x2+2（a+1）x+2在区间（-∞，-a-1]上是减函数，在区间[-a-1，+∞）上是增函数，
∵函数f（x）=x2+2（a+1）x+2在区间[-2，3]上是单调函数，
∴-a-1≤-2，或-a-1≥3，
解得a≥1或a≤-4．
故答案为：a≤-4或a≥1．
点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据函数f（x）在区间[-2，3]上为单调函数，判断出区间在对称轴的同一侧，进而构造关于a的不等式是解答本题的关键，属于基础题．
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