题目内容

△ABC的三个内角A，B，C满足sinA•cos² $数学公式$ +sinC•cos² $数学公式$ = $数学公式$ sinB，则cosB的取值范围是________．

$\text{[math]}$
分析：通过逆应用二倍角公式，化简方程，然后利用两角和的正弦函数、三角形的内角和，推出a、b、c关系，再利用余弦定理和基本不等式求出cosB的不等式，利用余弦函数的单调性求cosB的取值范围即可．
解答：由sinA•cos² $\text{[math]}$ +sinC•cos² $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinB，
可得sinA• $\text{[math]}$ +sinC• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinB
得：sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB，
即sinA+sin（A+C）+sinC=3sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，即2b=a+c．
由余弦定理，得：cosB= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
≥ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，当且仅当a=c时取等号，
∵cosx＜1，
所以cosB的范围是[ $\text{[math]}$ ，1）．
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题是中档题，考查正弦定理．余弦定理、两角和的正弦函数的应用，基本不等式的应用，难度较大，考查计算能力．

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