Question

设F₁，F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F₁AF₂=90°，且|AF₁|=3|AF₂|，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

分析：由∠F₁AF₂=90°，|AF₁|=3|AF₂|，可知S△F1AF2=b2=

3

2

|AF2|2，由此推导出a=

6

3

b，从而导出c，然后求出双曲线的离心率．

解答：解：∵∠F₁AF₂=90°，且|AF₁|=3|AF₂|，
∴S△F1AF2=b2=

3

2

|AF2|2，∴|AF2|=

6

3

b，|AF1| =

6

b，
∴a=

1

2

(

6

b-

6

3

b)  =

6

3

b，
∴c= 

( 6 3 b)2+b2

=

15

3

b，
∴e=

15 3 b

6 3 b

=

10

2

．
答案：

10

2

．

点评：由∠F₁AF₂=90°，|AF₁|=3|AF₂|得到S△F1AF2=b2=

3

2

|AF2|2，是解题的关键步骤．