Question

【题目】已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）讨论的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）在单调递减，在单调递增.（2）当时，有个零点；当时，有个零点.

【解析】

（1）求导后求解、的解集后即可得解；

（2）当时，由（1）求得的单调性即可得解；当时，求出函数导数后，设导函数的零点为，求得的最小值，再由、即可得解.

（1）若时，，的定义域为，

，

当时，；当时， ；

所以在单调递减，在单调递增.

（2）当时，，

，且在单调递减，在单调递增，

有个零点；

当时，，

令，

因为，在上单调递增.

又，，

所以存在实数，使得.

在上，，是减函数，

在上，，是增函数，

所以的最小值是，

其中满足，

即，

所以

，

因为，，

又因为，

所以有个零点.

综上所述，当时，有个零点；

当时，有个零点.