Question

在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BAC=θ，a=4．
（1）求b•c的最大值及θ的取值范围；
（2）求函数的最大值和最小值．

Answer 1

解（1）bc•cosθ=8，b²+c²-2bccosθ=4²即b²+c²=32…（2分）
又b²+c²≥2bc所以bc≤16，即bc的最大值为16 …（4分）
即所以 ，又0＜θ＜π所以0＜θ…（6分）
（2）=…（9分）
因0＜θ，所以＜，…（10分）
当即时，…（11分）
当即时，f（θ）_max=2×1+1=3…（12分）
分析：（1）向量的数量积，利用余弦定理求出b²+c²=32，通过基本不等式求b•c的最大值及θ的取值范围；
（2）利用二倍角的正弦函数化简函数 为一个角的三角函数的形式，通过角的范围正弦函数的最值求出函数的最大值和最小值．
点评：本题考查三角函数的化简求值，余弦定理的应用，掌握正弦函数的基本性质，是解好本题的关键．