Question

如图，已知：椭圆M的中心为O，长轴的两个端点为A、B，右焦点为F，AF=5BF．若椭圆M经过点C，C在AB上的射影为F，且△ABC的面积为5．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1，试证明：当点P（m，n）在椭圆M上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，半焦距为c，由AF=5BF，得2a=3c．（1）由题意设点C坐标（c，y），代入得椭圆的方程得出．最后由△ABC的面积为5，得出a，b的关系式解得a，b．最后写出椭圆M的方程．
（Ⅱ）点P（m，n）在椭圆C上，则m²+n²＞

m2

9

+

n2

5

，从而得圆心O到直线l的距离 d=

1

m2+n2

＜1=r，即直线l与圆O相交；直线l被圆O截得的弦长为 t=2

r2-d2

，可得弦长t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，半焦距为c，
由AF=5BF，且AF=a+c，BF=a-c，∴a+c=5（a-c），得2a=3c．（1）
由题意CF⊥AB，设 点C坐标（c，y），C在M上，
代入得y2=b2(1-

c2

a2

)=

(a2-c2)2

a2

∴y=

a2-c2

a

． 由△ABC的面积为5，
得

1

2

•2a•

a2-c2

a

=5，a²-c²=5．（2）
解（1）（2）得a=3，c=2．
∴b²=a²-c²=9-4=5．
∴所求椭圆M的方程为：

x2

9

+

y2

5

=1．
（Ⅱ） 圆O到直线l：mx+ny=1距离d=

1

m2+n2

，
由点P（m，n）在椭圆M上，则

m2

9

+

n2

5

=1，
显然m²+n²＞

m2

9

+

n2

5

，
∴m²+n²＞1，

m2+n2

＞1，
∴d=

1

m2+n2

＜1，
而圆O的半径为1，直线l与圆O恒相交．
弦长t=2

1-d2

=2

1- 1 m2+n2

，
由

m2

9

+

n2

5

=1得n2=5(1-

m2

9

)，
∴

1

m2+n2

=

9

4m2+45

，t=2

1- 9 4m2+45

，
∵|m|≤a，∴0≤m²≤9，45≤4m²+45≤81，
∴

4

5

≤1-

9

4m2+45

≤

8

9

，
弦长t的取值范围是[

4 5

5

，

4 2

3

]．

点评：本题考查了直线与椭圆，直线与圆的综合应用问题，也考查了直线过定点的问题；解题时要认真分析，灵活运用所学的知识，细心解答．