Question

如图，已知：椭圆M的中心为O，长轴的两个端点为A、B，右焦点为F，AF=5BF．若椭圆M经过点C，C在AB上的射影为F，且△ABC的面积为5．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知圆O：=1，直线=1，试证明：当点P(m，n)在椭圆M上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意设椭圆方程为，半焦距为c，
由AF=5BF，且AF=a+c,BF=a-c，
∴a+c=5（a-c），得2a=3c.①
由题意CF⊥AB，设 点C坐标（c，y），C在M上，
代入得
∴．
由△ABC的面积为5，得，=5②
由①②得a=3， c=2.
∴=9-4=5．
∴所求椭圆M的方程为：．
(Ⅱ) 圆O到直线=1距离d=，
由点P(m,n)在椭圆M上，则，
显然，
∴1，>1,
∴d =<1，
而圆O的半径为1，直线l与圆O恒相交．弦长t=2=2,
由得，
∴, t=2, ，
∴，，
∴ ，
弦长t的取值范围是[]．