Question

已知函数f（x）=x²-4x+6，
（1）若f（x）在区间[m，m+1]上单调递减，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的最小值为a，最大值为b，求a、b的值．

Answer 1

分析：（1）配方法，利用f（x）在区间[m，m+1]上单调递减，建立不等式，即可求实数m的取值范围；
（2）确定f（x）在[a，b]上单调递增，根据若f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的最小值为a，最大值为b，可得a，b为方程f（x）=x的两根，即可求a、b的值．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-4x+6=（x-2）²+2
∴f（x）的对称轴为x=2，
∵f（x）在区间[m，m+1]上单调递减，∴m+1≤2，
∴m≤1；
（2）∵f（x）=（x-2）²+2≥2，∴a≥2
∴f（x）在[a，b]上单调递增．
∵f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的最小值为a，最大值为b，
∴f（a）=a，f（b）=b．
∴a，b为方程f（x）=x的两根
由x²-4x+6=x，得a=2，b=3．

点评：本题考查二次函数的对称性，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．