Question

若圆中一段弧长正好等于该圆外切正三角形的边长，设这段弧所对的圆心角是θ，则sinθ的值所在的区间为（　　）

• A、（-

  2

  2

  ，0）
• B、（0，

  2

  2

  ）
• C、（

  2

  2

  ，1）
• D、（-1，-

  2

  2

  ）

Answer 1

分析：设圆的半径为r，利用圆与正三角形的关系求得圆外切正△ABC的边长AB，从而求出圆弧所对的圆心角θ，即得sinθ的值所在的区间．

解答：解：如图，；
等边三角形ABC是半径为r的圆外切三角形，
圆心为O，过O作OM⊥AB，垂足为M，
在Rt△AOM中，∠OAM=30°，
∴AO=2r，AM=

3

r，
∴AB=2AM=2

3

r，
∴弧长l=AB=2

3

r；
由弧长公式得，
θ=

2 3 r

r

=2

3

； 
又∵π＜2

3

＜

5π

4

，
∴-

2

2

＜sin2

3

＜0，
即sinθ∈（-

2

2

，0）；
故选：A．

点评：本题考查了圆心角的弧度数的意义，以及弧长公式的应用问题，体现了数形结合的数学思想．