Question

设f（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证：
（1）方程f（x）=0有实数根；
（2）-2＜＜-1；
（3）设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实数根，则≤|x₁-x₂|．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知中a+b+c=0，利用配方法求出二次方程f（x）=0的△＞0，即可判断出方程f（x）=0有实数根；
（2）由a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，我们可构造关于的不等式，解不等式可得）-2＜＜-1；
（3）当x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实数根时，根据韦达定理我们可以求出，=的范围，开方后可得≤|x₁-x₂|．
解答：解：（1）∵a≠0，a+b+c=0，a+c=-b，
∴△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=＞0
f（x）=3ax²+2bx+c=0有实数根，--（4分）
（2）由f（0）f（1）＞0，得c（3a+2b+c）＞0
∵a+b+c=0，
∴c=-（a+b），
∴-（a+b）•（2a+b）＞0，
∴＞0，
∴
解得-2＜＜-1----------（9分）
（3）∵x1，x2是方程f（x）=0的两个实数根，
∴，
∴=
=-4（）
=
∵-2＜＜-1
∴＜＜
∴≤|x₁-x₂|．--------（15分）
点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，方程的根，韦达定理，是函数、方程与不等式之间相互关系的典型例题．