Question

设f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证：
（Ⅰ）方程f（x）=0有实根．
（Ⅱ）-2＜

a

b

＜-1；设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实根，则.

3

3

≤|x1-x2|＜

2

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）针对a进行分类讨论，若a=0，f（0）f（1）≤0显然与条件矛盾，a≠0时，f（x）=3ax²+2bx+c为二次函数，只需考虑判别式即可；
（Ⅱ）利用根与系数的关系将（x₁-x₂）²转化成关于

b

a

的二次函数，根据

b

a

的范围求出值域即可．

解答：证明：（Ⅰ）若a=0，则b=-c，
f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-c²≤0，
与已知矛盾，
所以a≠0．
方程3ax²+2bx+c=0的判别式△=4（b²-3ac），
由条件a+b+c=0，消去b，得△=4（a²+c²-ac）=4[(a-

1

2

c)2+

3

4

c2]＞0
故方程f（x）=0有实根．
（Ⅱ）由条件，知x1+x2=-

2b

3a

，x1•x2=

c

3a

=-

a+b

3a

，
所以（x₁-x₂）²=（x₁-x₂）²-4x₁x₂=

4

9

(

b

a

+

3

2

)2+

1

3

．
因为-2＜

b

a

＜-1，
所以

1

3

≤(x1-x2)2＜

4

9

故

3

3

≤|x1-x2|＜

2

3

点评：本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．