Question

【题目】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，，

以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.

（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；

（2）求直线CD与平面ACM所成角的大小；

（3）求点N到平面ACM的距离.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析.

(2) .

(3) .

【解析】分析：（Ⅰ）要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；（Ⅱ）先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h，即可求直线PC与平面ABM所成的角；（Ⅲ）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h，再利用第二问的结论即可得到答案．

详解：

（1）AC是所作球面的直径，AM⊥MC，PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，∴AM⊥平面PCD，∴平面ABM⊥平面PCD；

（2），，，设D到平面ACM的距离为h，

由，求得，∴，；

（3），，∴，∴，所求距离.