Question

【题目】某小区内有一块以为圆心半径为20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内且在圆外的区域，其中，，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过60米.设.

（1）求的长（用表示）；

（2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？

Answer 1

【答案】(1) (2)能符合要求

【解析】

（1）利用垂径定理，可以得到一个直角三角形，可以求出的长；

（2）根据垂线段最短这个性质，可以得到点处的观众离点最远，利用余弦定理求出的长，求出它的最大值，与60进行比较，得出结论。

解：（1）过点作垂直于，垂足为

在直角三角形中，，

所以，因此

（2）由图可知，点处的观众离点最远

在三角形中，由余弦定理可知

．

因为，所以当，即时，

＝800＋1600，

又＝800＋1600

所以

所以观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米．

故对于任意，上述设计方案均能符合要求．