题目内容
数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有2Sn=
+an．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ） 设正数数列{cn}满足an+1=(cn)n+1，(n∈N*)，求数列{cn}中的最大项；
（Ⅲ） 求证：Tn=
+
+
+…+
＜
．
| a | 2n |
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ） 设正数数列{cn}满足an+1=(cn)n+1，(n∈N*)，求数列{cn}中的最大项；
（Ⅲ） 求证：Tn=
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 11 |
| 10 |
（Ⅰ）由已知：对于n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
∴2Sn-1=an-1+
(n≥2)②
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）∵an，an-1均为正数，∴an-an-1=1（n≥2），
∴数列{an}是公差为1的等差数列，又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1．
∴an=n．
（Ⅱ）解法一：由已知cn＞0，a2=c12=2?c1=
，
a3=
=3?c2=
，同理，c4=
，c5=
．
易得 c1＜c2，c2＞c3＞c4＞…猜想n≥2时，{cn}是递减数列．
令f(x)=
，则f′(x)=
=
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，即f'（x）＜0．
∴在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．
由an+1=cnn+1知lncn=
．
∴n≥2时，{lncn}是递减数列．即{cn}是递减数列．
又c1＜c2，∴数列{cn}中的最大项为c2=
．
解法二：猜测数列{cn}中的最大项为c2=
．c1＜c2＞c3易直接验证；
以下用数学归纳法证明n≥3时，nn+1＞（n+1）n
（1）当n=3时，nn+1=81＞64=（n+1）n，所以n=3时不等式成立；
（2）假设n=k（k≥3）时不等式成立，即kk+1＞（k+1）k，即(
)k＜k，
当n=k+1时，(
)k+1=(
)(
)k＜(
)(
)k＜(
)k＜k+1，
所以（k+1）k+2＞（k+2）k+1，即n=k+1时不等式成立．
由（1）（2）知nn+1＞（n+1）n对一切不小于3的正整数都成立．
（3）解法一：当n≥4时，由基本不等式的性质可得n3+16≥2
=8n
≥16n，
当n=2
时，取前一个等号，显然取不到，因此：n3+16＞16n，∴n4＞16n（n-1）．
解法二：n≥2时，
＜
=
[
-
]，
∴2Sn-1=an-1+
| a | 2n-1 |
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）∵an，an-1均为正数，∴an-an-1=1（n≥2），
∴数列{an}是公差为1的等差数列，又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1．
∴an=n．
（Ⅱ）解法一：由已知cn＞0，a2=c12=2?c1=
| 2 |
a3=
| c | 32 |
| 3 | 3 |
| 2 |
| 5 | 5 |
易得 c1＜c2，c2＞c3＞c4＞…猜想n≥2时，{cn}是递减数列．
令f(x)=
| lnx |
| x |
| ||
| x2 |
| 1-lnx |
| x2 |
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，即f'（x）＜0．
∴在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．
由an+1=cnn+1知lncn=
| ln(n+1) |
| n+1 |
∴n≥2时，{lncn}是递减数列．即{cn}是递减数列．
又c1＜c2，∴数列{cn}中的最大项为c2=
| 3 | 3 |
解法二：猜测数列{cn}中的最大项为c2=
| 3 | 3 |
以下用数学归纳法证明n≥3时，nn+1＞（n+1）n
（1）当n=3时，nn+1=81＞64=（n+1）n，所以n=3时不等式成立；
（2）假设n=k（k≥3）时不等式成立，即kk+1＞（k+1）k，即(
| k+1 |
| k |
当n=k+1时，(
| k+2 |
| k+1 |
| k+2 |
| k+1 |
| k+2 |
| k+1 |
| k+2 |
| k+1 |
| k+1 |
| k |
| k+2 |
| k+1 |
所以（k+1）k+2＞（k+2）k+1，即n=k+1时不等式成立．
由（1）（2）知nn+1＞（n+1）n对一切不小于3的正整数都成立．
（3）解法一：当n≥4时，由基本不等式的性质可得n3+16≥2
| 16n3 |
| n |
当n=2
| 3 | 2 |
|
解法二：n≥2时，
| 1 |
| n4 |
| 1 |
| n2(n-1)2 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| (n-1)2 |
| 1 |
| n2 |
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