Question

已知函数f（x）=2asinωxcosωx+b（2cos²ωx-1）（ω＞0）在时取最大值2．x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，|x₁-x₂|的最小值为．
（I）求a、b的值；
（II）若，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用二倍角公式化简函数为f（x）=Asin（2ωx+ϕ），根据在时取最大值2．x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，|x₁-x₂|的最小值为．求出A，T，解得ω，利用，求出ϕ，然后求出a、b的值；
（II）通过（I）以及，求出，利用诱导公式化简，通过二倍角公式求出的值．
解答：解：（I）f（x）=asin2ωx+bcos2ωx，
可设f（x）=Asin（2ωx+ϕ），其中
由题意知：f（x）的周期为π，A=2，由=π，知ω=1．
∴f（x）=2sin（2x+ϕ）（3分）
∵，∴，从而，
即，∴，
从而a=1，b=（6分）

（II）由知，即．
∴
=．（12分）
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简、求值，函数的基本性质：最值、周期，二倍角公式，两角和的正弦函数，诱导公式的应用，是综合题，考查计算能力，仔细分析题目的含义，是解好数学题目的基础．