Question

（本小题14分）
如图2,在四面体中,且
(1)设为的中点,证明:在上存在一点,使,并计算的值;
(2)求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

解法一:（1）在平面内作交于，连接.…………1分

　又，　
　　，　　。        

取为的中点，则         …………4分
在等腰中，， 
在中，，  ……4分
在中，，   …5分
                       …………8分
（2）连接，
由，知：.
又，
又由，.
又,
又是的中点,
,
,,

为二面角的平面角                …………10分
在等腰中，，
在中，，
在中, .           …………12分
                     …………14分

解法二：在平面中,过点,作交于,取为坐标原点，分别以，,所在的直线为轴，轴,轴，建立空间直角坐标系 （如图所示）       …………1分
则
为中点，      …………2分
设 .

 即，.      …………6分
所以存在点 使得 且.      …………8分
（2）记平面的法向量为,则由，，且，
得， 故可取          …………10分
又平面的法向量为.                    …………11分
.                    …………13分
二面角的平面角是锐角，记为，则 …………14分

略