Question

如图所示的正方体，边长为a，试求：

　　(1)异面直线A₁B与D₁B₁所成的角；

 

 

　　(2)异面直线A₁B与D₁B₁间的距离．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1，B，D1，B1的四个点坐标分别为A1(0，0，a)，B(a，0，0)，D1(0，a，a)，B1(a，0，a) 　　则=(a，0，-a) 　　=(a，-a，0) 　　(1)cos〈，〉=，异面直线A1B与D1B1所成的角为60° 　　(2)设M、N分别为空间直线A1B、D1B1上的任意一点，根据直线A1B、D1B1的各自特点，可分别设M、N坐标为M(x1，0，a-x1)、N(x2，a-x2，a)，则=(x2-x1，a-x2，x1)．当MN为异面直线A1B、D1B1的公垂线段时，应有MN⊥A1B，MN⊥D1B1，从而， 　　即 　　解得，a 　　∴　异面直线A1B与D1B1间的距离 　　 　　　=

提示：

说明：本题用向量的方法求异面直线所成的角，并借助于法向量求出两异面直线之间的距离．题目富有创意，很值得细细体味．